वक्र |y| + frac{1}{2} = e^{-|x|} द्वारा परिबद | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ है।चूंकि समीकरण में $|x|$ और $|y|$ शामिल हैं,इसलिए वक्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित

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$2(1 - \ln 2)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया समीकरण $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ है।चूंकि समीकरण में $|x|$ और $|y|$ शामिल हैं,इसलिए वक्र $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।हम लिख सकते हैं $|y| = e^{-|x|} - \frac{1}{2}$।$y$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $e^{-|x|} - \frac{1}{2} \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $e^{-|x|} \ge \frac{1}{2}$,या $|x| \le \ln 2$।प्रथम चतुर्थांश $(x \ge 0, y \ge 0)$ में,समीकरण $y = e^{-x} - \frac{1}{2}$ हो जाता है।प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $\int_0^{\ln 2} (e^{-x} - \frac{1}{2}) dx$ है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^{\ln 2} e^{-x} dx - \int_0^{\ln 2} \frac{1}{2} dx = [-e^{-x}]_0^{\ln 2} - [\frac{1}{2}x]_0^{\ln 2} = (-e^{-\ln 2} - (-e^0)) - \frac{1}{2}\ln 2 = (-\frac{1}{2} + 1) - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2 = \frac{1}{2}(1 - \ln 2)$।चूंकि वक्र चारों चतुर्थांशों में सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $4 	imes \frac{1}{2}(1 - \ln 2) = 2(1 - \ln 2)$ है।

वक्र $|y| + \frac{1}{2} = e^{-|x|}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है

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